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Théorie des poutres ICAB Force/CR |
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L'instabilité élastique (flambement) d'une structure se produit lorsqu'un léger accroissement du chargement entraîne des déformations importantes, provoquant l'effondrement. Le calcul du flambement se déroule en deux étapes:
a) la structure est sollicitée par un chargement qui produit une distribution de contraintes (s).
b) le chargement initial est multiplié par un facteur Mu.
Le flambement apparaît lorsque l'énergie de déformation élastique est équivalente au travail des contraintes initiales (s). Dans ce cas, un accroissement infime du chargement produit des déplacements infinis. La recherche des flambements se ramène au calcul des vecteurs propres {u} et valeurs propres Mu qui sont respectivement les modes de flambement et les coefficients d'amplification des charges:
[K] est la matrice de rigidité élastique
[KD(s)] est la matrice de rigidité différentielle associée au champ de contraintes initiales (s) obtenue par intégration sur la structure des matrices élémentaires kw(s).
La ruine apparaît pour la plus petite valeur propre Mu, c'est-à-dire le plus petit coefficient d'amplification du chargement initial. Le mode propre associé correspond à la déformée de ce coefficient d'amplification. Notez bien que le mode de flambement obtenu dépend de l'ensemble des éléments de la structure, de ses conditions de blocage et de son chargement initial.
Cas d'une poutre comprimée articulée à ses extrémités
L'effort de compression axial N modifie le comportement de flexion de la poutre. Pour une traction axiale, les fréquences de vibration en flexion augmentent (cas des cordes d'instruments de musique). En revanche, les fréquences de vibration de la poutre en flexion diminuent au fur et à mesure que l'effort de compression axial augmente. La première fréquence propre devient nulle pour une charge critique:
Le flambement peut être interprété comme une résonance qui se produit à fréquence nulle, autrement dit un mode de déformation qui apparaît pour une charge quasi-statique.
Estimation de la longueur de flambement à partir du coefficient Mu de flambement généralisé
Lorsque le coefficient Mu est estimé par analyse en flambement généralisé, la longueur de flambement l d’une poutre soumise à un effort de compression Nx peut être estimée comme:
L'analyse du flambement généralisé doit porter sur l'ensemble de la structure pour la détermination des modes de flambement {u} et des coefficients d'amplification des charges l. Toutefois, sans ordinateur, ce calcul devient vite hors de portée même pour un assemblage de quelques poutres.
Pour pallier cette difficulté, les règles (CM66, CB71, Eurocodes...) définissent des critères de flambements locaux qui sont applicables poutre par poutre. Ces critères réduisent l'étude d'une poutre prise dans un assemblage à des poutres équivalentes de longueur lK dont les extrémités sont articulées (extrémités maintenues vis-à-vis du mouvement latéral, mais libres de tourner) pour l'étude du flambement ou bien à des poutres de longueur lD dont les extrémités sont maintenues latéralement (encastrées contre le mouvement latéral, encastrement contre la rotation suivant l'axe longitudinal, libre de tourner dans le plan) pour l'étude du déversement:
ICAB calcule les longueurs de flambement LKYc et LKZc en prenant en compte les blocages et les rigidités des éléments adjacents à la poutre en cours d'étude. Ce calcul n'est pas exact si les éléments adjacents sont eux-mêmes assemblés à d'autres éléments et non pas à des blocages; autrement dit, l'effet des rigidités des éléments adjacents est surestimé et par conséquent les longueurs de flambement LKYc, LKZc en général sous-estimées.
Afin de prendre en compte des longueurs de flambement plus longues, l'utilisateur peut imposer des longueurs minimales de flambement LKM et déversement LDM (propriétés LKY, LKZ, LDY, LDZ des poutres). Pour assurer la compatibilité des calculs pour les versions ICAB antérieures à la version 3, si LKY=0 alors LKY=LKZ et si LDY=0, alors LDY=LDZ; la réciproque n'est pas vraie.
Par ailleurs, les longueurs de flambement pris en compte pour les critères de ruine sont toujours au moins égales à la longueur de la poutre L(N1,N2). La longueur de déversement lDy est égale à la plus longue des longueurs LDY et L(N1,N2).
Cas du flambement généralisé
Après une analyse au flambement généralisé, le plus petit coefficient Mu est employé pour estimer un minorant des longueurs de flambement poutre par poutre (v5.210).
Une poutre en compression devient brutalement instable bien avant que la limite d'élasticité ne soit atteinte, c'est à dire avoir s<se et assister une grande déformation de la poutre entraînant sa ruine. Il s'agit du phénomène de flambement étudié par Euler. Des études plus complètes ont été conduites par Dutheil et ont été adoptées par les règles CM66 pour des chargements complexes combinant compression et flexion.
La longueur de flambement lky est déterminée par ICAB Force comme la plus grande des longueurs lky, LKY indiquée par le paramètre LKY des propriétés physiques de la poutre et L(N1,N2) qui est la distance entre l'origine et l'extrémité de la poutre. Un calcul analogue est mené pour lkz. Les paramètres LKY, LKZ ne sont utilisés que pour le calcul des critères de ruine; ils ne modifient en aucune manière le calcul des déplacements, des efforts résultants et des contraintes.
Les élancements Lambda sont calculés comme ci-après:
Le déversement des pièces fléchies est un phénomène d'instabilité élastique qui présente des analogies avec le flambement. Le déversement se produit lorsqu'une poutre fléchie présente une faible inertie à la flexion transversale et à la torsion. La partie supérieure de la poutre, comprimée, flambe latéralement et il existe une valeur critique du moment de flexion (selon le plan de plus grande raideur), comme il existe un effort normal critique provoquant le flambement pour une barre comprimée, pour lequel la poutre fléchit dans le plan de sa plus faible raideur et entre en torsion.
Le critère calculé par ICAB Force utilise une formule enveloppe qui permet de combiner les effet d'une compression et d'une flexion déviée.
Les critères de ruine calculés par ICAB Force/CM avec extensions sont: